Question

已知函数f(x)=x-1-alnx (a∈R). 求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1

②必要性
f'（x）=1-a x =x-a x ，其中x＞0
（i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
而f（1）=0，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时，∵x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；
0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-a-alna
∵f（1）=0，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=0，此时与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a=1

在上面证明必要性的过程中，“∵f（1）=0，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=0，此时与f（x）≥0恒成立相矛盾”是什么意思？为什么a≠1时，有f（a）＜f（1）？

Answer 1

当a＞0时，∵x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a， ∞）上是增函数；
0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a-a-alna
由导数知f（a）为最小值