已知F1,F2是椭圆的两个焦点,M为椭圆上一点,则向量MF1·向量MF2的最大值为多少?
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椭圆: x²/a² + y²/b² = 1
M(u, v): u²/a² + v²/b² = 1, v² = b² - b²u²/a²
F1(-c, 0), F2(c, 0)
向量MF1 = (-c - u, -v)
向量MF2 = (c - u, -v)
向量MF1·向量MF2 = (-c - u)(c - u) + (-v)² = u² - c² + b² - b²u²/a²
= (1 - b²/a²)u² + b² - c²
u² = a²时, 结果最大 = (1 - b²/a²)a² + b² - c²
= a² - b² + b² - c²
= a² - c²
= b²
M(u, v): u²/a² + v²/b² = 1, v² = b² - b²u²/a²
F1(-c, 0), F2(c, 0)
向量MF1 = (-c - u, -v)
向量MF2 = (c - u, -v)
向量MF1·向量MF2 = (-c - u)(c - u) + (-v)² = u² - c² + b² - b²u²/a²
= (1 - b²/a²)u² + b² - c²
u² = a²时, 结果最大 = (1 - b²/a²)a² + b² - c²
= a² - b² + b² - c²
= a² - c²
= b²
更多追问追答
追问
如果最大值是3c²，那向量MF₁与向量MF₂是不是共线呢？
追答
按照原来的计算，肯定共线。这与最大值是多少没关系，只是b² = 3c²而已。
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