Question

求体积为αˇ3而表面积为最小的长方体的表面积

Answer 1

方法一：代换法
设长方体的长宽高分别是x, y, z
则表面积f(x,y,z)=2(xy+yz+xz)
xyz=a³
∴z=a³/xy
f(x,y)=2(xy+a³/x+a³/y)
令∂f/∂x=2x-2a³/x²=0
∂f/∂y=2y-2a³/y²=0
∴x=y=a
又xyz=a³
则当x=y=z=a时表面积最小
fmin=6a²

方法二：拉格朗日算子法
设长方体的长宽高分别是x, y, z
则表面积f(x,y,z)=2(xy+yz+xz)
约束条件为体积g(x,y,z)=xyz=a³
引入拉格朗日算子，构造拉格朗日函数
L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λ[g(x,y,z)-a³]=2(xy+yz+xz)+λ(xyz-a³)
∂L/∂x=2(y+z)+λyz=0
∂L/∂y=2(x+z)+λxz=0
∂L/∂z=2(x+y)+λxy=0
xyz=a³
∴当x=y=z=a时, f取最小值
fmin=6a²

Answer 2

设：长方体的长宽高分别是x、y、z，则：
xyz=a³
表面积是：S=2(xy＋yz＋zx)
因为：xy＋yz＋xz≥3³√[(xy)(yz)(zx)]=3³√(xyz)²
则：xy＋yz＋zx≥3³√[(a³)²]=3a²
即：xy＋yz＋zx≥3a²
所以，有：S=2(xy＋yz＋zx)≥6a²
表面积最小值是6a²，此时x=y=z，即：x=y=z=a
当这个长方体为正方体时，表面积最小，最小值是6a²

Answer 3

长方体体积设为V
V=xyz
S=2*(xy+yz+zx)的最小值
代换法
z=V/xy
f(x,y)=s=2(xy+V/x+V/y)
fx=2x-2V/x^2=0
fy=2y-2V/y^2=0
=>x=y=V^1/3
又xyz=V
则当x=y=z=V^1/3的时候表面积最小
当长方体的体积为a^3
，长宽高均为（a ）时，
即长方体为正方体时，其表面积最小。
表面积为6a²

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Answer 4

（αˇ2）*6