Question

关于x的方程:x^2+mx+2=0(m属于R)的一个根是1+ni,(n属于R+),

在复平面上的一点Z对应的复数Z满足/Z/=1.则/Z-m-ni/的取值范围是
答案[根号5-1,根号5+1].请给出过程.谢谢

Answer 1

解答：
实系数一元二次方程的虚根成对出现，互为共轭复数
∵ 关于x的方程:x^2+mx+2=0(m属于R)的一个根是1+ni
则另一个根是1-ni
利用韦达定理
1+ni+1-ni=-m
(1+ni)(1-ni)=2, 即1+n²=2
∵ n>0
∴ n=1, m=-2
∴ |Z-m-ni|=|z-(-2+i)|
几何意义是z对应的点到点B（-2,1）的距离
∵ |z|=1,即z对应的点是以O（0，0）为圆心，1为半径的圆
∴ |OB|-1≤|z-(-2+i)|≤|OB|+1
∵ |OB|=√(4+1)=5
∴ |z-(-2+i)|∈[√5-1，√5+1]

Answer 2

关于x的方程:x^2+mx+2=0(m属于R)的一个根是1+ni，则另一个根为：1-ni
=>1+ni+1-ni=-m ,1-(ni)²=2
=>m=-2, n=1
设z=cosa+isina ,a∈[0,2π)则
lZ-m-nil
=l（cosa+2)+(sina-1)il
=√[(cosa+2)²+(sina-1)²]
=√(2cosa-2sina+5)
=√[2cos(a+π/4)+5]
∴√3≤lZ-m-nil≤√7