Question

如图：在△ABC中，∩C=90°，AC=4，BC=3，DE∥AB，与AC、BC分别交于点D、E，CF⊥DE于F，G为AB上任一点，设

CF=x，△DEG的面积为y，当DE在△ABC内部移动时，（1）求x的取值范围；（2）求函数y与自变量x的函数关系；（3）当DE取何值时，△DEG面积最大，并求最大值。

Answer 1

（1）
直角△ABC，AC=4，BC=3，所以，AB=5。
从直角C向斜边AB做垂线，与AB相交于H，
△ACH 与 △ABC 是相似三角形
∴ AB:AC = BC:CH
CH = AC*BC/AB = 3*4/5 = 12/5

∵ DE 在 △ABC 内移动，
∴ x的取值范围应为 0 < x < 12/5。

（2）
∵ DE∥AB，
∴ △DEC 与 △ABC 是相似三角形
CF:CH = DE:AB
DE = CF*AB/CH = 5x/(12/5) = 25x/12
△DEG 以 DE 为底，高 h = CH - CF = 12/5 - x
△DEG 的面积 y = DE * h / 2 = (25x/12)(12/5 - x)/2
y = -(25/24)x² + (5/2)x

（3）
当 x = 6/5 时，y 有最大值
y 的最大值为 3/2 = 1.5

如有问题，继续追问，如有帮助，敬请采纳。

Answer 2