Question

线性代数：向量组等价

证明以下两个向量组等价：
S={a1=（1,1,0,0），a2=（1,0,1，1）}
T={β1=（2，-1,3,3），β2=（0,1，-1，-1）}

Answer 1

这是别人回答的，应该是对的，应为有人采纳了的，然后就只有字母不一样，数据是一样的

因为β1=3a2-a1
β2=a1-a2
所以可知β1，β2可以由a1，a2线性组合得来。那么自然S包含T。
同时反过来
a1=(1/2)β1+(3/2)β2
a2=(1/2)β1+(1/2)β2
所以a1，a2可以有β1，β2的线性组合得来，那么T包含S。
因此S=T
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得到
β1=3a2-a1
β2=a1-a2
之后可以直接说因为矩阵
3 -1
1 -1
的行列式不等于0，即它可逆，直接可以说S=T

Answer 2

(a1,a2,b1,b2)=
1 1 2 0
1 0 -1 1
0 1 3 -1
0 1 3 -1

r1-r2
0 1 3 -1
1 0 -1 1
0 1 3 -1
0 1 3 -1

r3-r1,r4-r1
0 1 3 -1
1 0 -1 1
0 0 0 0
0 0 0 0

所以 r(a1,a2) = r(a1,a2,b1,b2) = 2
而显然有 r(b1,b2)=2
所以有 r(a1,a2) = r(a1,a2,b1,b2) = r(b1,b2)
所以两个向量组等价.