Question

已知函数f(x)=sin^2x-√3sinxcosx，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于坐标原点

已知函数f(x)=sin^2x-√3sinxcosx，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于坐标原点对称。①求函数g(x)的单调递减区间。②在三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对角，A为锐角，若f(A)－g(A)=3/2，b+c=7，三角形ABC的面积为2√3，求边a的长。要有具体步骤，急急急！有追加！在线等！

Answer 1

f(x)=sin²x-√3sinxcosx
=[1-cos(2x)]/2-(√3/2)sin(2x)
=-[(√3/2)sin(2x)+(1/2)cos(2x)] +1/2
=-sin(2x+π/6) +1/2
函数g(x)的图像与f(x)的图像关于坐标原点对称,则有g(x)=-f(-x)=-[-sin(-2x+Pai/6)+1/2]=sin(-2x+Pai/6)-1/2=-sin(2x-Pai/6)-1/2

g(x)的单调减区间是2kPai-Pai/2<=2x-Pai/6<=2kPai+Pai/2
即有[kPai-Pai/6,kPai+Pai/3]
(2)f(A)-g(A)=-sin(2A+Pai/6)+1/2-[-sin(2A-Pai/6)-1/2]=3/2
即有sin(2A-Pai/6)-sin(2A+Pai/6)=1/2
sin2AcosPai/6-cos2AsinPai/6-sin2AcosPai/6-cos2AsinPai/6=1/2
-2cos2AsinPai/6=1/2
cos2A=-1/2
2A=120
A=60度.
S=1/2bcsinA=2根号3
1/2bc*根号3/2=2根号3
即有bc=8,
a^2=b^2+c^2-2bccosA=(b+c)^2-2bc-2bc*1/2=7^2-3*8=49-24=25
a=5

Answer 2

f(x)=sin^2x-√3sinxcosx
=（1/2）（1-cos2x)-(√3/2）sin2x
=1/2-sin(2x+π/6)，
函数g(x)的图像与f(x)的图像关于坐标原点对称
∴-g(x)=1/2-sin(-2x+π/6),
g(x)=-1/2-sin(2x-π/6),
①g(x)的单调递减区间由（2k-1/2)π<2x-π/6<(2k+1/2)π,k∈Z确定，
各加π/6，（2k-1/3)π<2x<（2k+2/3)π,
各除以2，(k-1/6)π<x<(k+1/3)π,为所求。
②f(A)－g(A)=1+sin(2A-π/6)-sin(2A+π/6)=1-cos2A=3/2，
cos2A=-1/2,2A=120°，A=60°，
b+c=7，S△ABC=(1/2)bc*√3/2=2√3，
bc=8,
由余弦定理，a^=b^+c^-bc=(b+c)^-3bc=49-24=25,
∴a=5.

Answer 3

已知函数f(x)=sin^2x-√3sinxcosx，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于坐标原点对称。①求函数g(x)的单调递减区间。②在三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对角，A为锐角，若f(A)－g(A)=3/2，b+c=7，三角形ABC的面积为2√3，求边a的长。
(1)解析：∵函数f(x)=sin^2x-√3sinxcosx=1/2-cos2x*1/2-√3/2sin2x
=1/2-sin(2x+π/6)
∵函数g(x)的图像与f(x)的图像关于坐标原点对称
∴g(x)=-f(-x)=- 1/2+sin(-2x+π/6)=sin(2x+5π/6)-1/2
2kπ+π/2<=2x+5π/6<=2kπ+3π/2==>kπ-π/6<=x<=kπ+π/3
∴g(x)的单调递减区间为kπ-π/6<=x<=kπ+π/3

(2)解析：∵在⊿ABC中，∠A为锐角，f(A)-g(A)=3/2，b+c=7，S(⊿ABC)=2√3
f(A)-g(A)=1-[sin(2A+π/6)+sin(2A+5π/6)]=1-cos2A=3/2==>A=π/3
S(⊿ABC)=1/2bcsinA=√3/4bc=2√3==>bc=8
由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc=49-24=25
∴边a=5