Question

有高手可以一小时解决这数学题吗

已知函数f(x)=2x^2+3(a^2+a)lnx-8ax，若x=3是f(x)一个极值点，求a
若f(x)在其导函数的单调区间上也是单调的，求a取值范围
用高中方法，详细点

Answer 1

f′（x）=4x+3（a^2+a)/x-8a=(4x^2-8ax+3a^2+3a)/x。
（1）x=3时，f′（x）=0，得a=3或a=4；当a=3时，有f′（x）=(4（x-3）^2)/x，x=3不是极值点；当a=4时，有f′（x）=4(x-3)(x-5)/x，此时f(x)在(0,3)上增，在(3,5)上减，所以x=3是极值点。所以a=4。
(2)看f′（x）=4x+3（a^2+a)/x-8a，
若3（a^2+a)<0,则f′（x）在(0,+∞）上为增函数，但当x→0时，f′（x）的值趋向于-∞，当x→+∞时，f′（x）的值趋向于+∞。所以导数值有正也有负，不符合题意。
若3（a^2+a)=0,则f′（x）=4x或者4x+8在(0,+∞）上为增函数，且当x∈(0,+∞)时,有导数值均为正,所以符合题意。

若3（a^2+a)>0,则f′（x）在(0,m)上减，在（m，+∞）上增。f′（x）的最小值为f′（m），若最小值小于零，则在区间导数值有正也有负，不符合题意，所以由题意得f′（m）≥0。解得0<a≤3。
综上所得，0≤a≤3或a=-1。

Answer 2

令f'(x)=4x+3(a^2+a)*1/x-8a=0
由于f'(3)=0，a^2-7a+12=0 a=3 a=4

a=3, f'(x)=4x+36/x-24= (4/x)(x^2-6x+9)=(4/x)(x-3)^2
a=4, f'(x)=4x+60/x-24= (4/x)(x^2-6x+15)

当a=3时，f(x)在其导函数的单调区间上也是单调的

Answer 3

f'(x)=4x+3(a^2+a)*1/x-8a=0
a^2-7a+12=0
a=3 a=4

Answer 4

求一阶导数
将x=3代入
3*4+3/3（a^2+a）-8a=0解就可以啦

Answer 5

(1)a=4,（a=3要舍去！）
(2)a<3/13