Question

2、证明方程方程有且仅有一个正实根。

Answer 1

你好！

1) 设f(x)=x^5+5x^4-5
f'(x)=5x^4+20x^3
x>0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在x>0时至多有一个零点
又因为f(x)连续，f(0)=-5<0
而f(1)=1>0
f(0)*f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内至少有一个零点
综合上f(x)在x>0内有且仅有一个零点，所以x^5+5x^4-5有且仅有一个正实根

2）令g(x）=f(x)+x
由于f(x)连续，显然g(x)也连续
g(0)=f(0)+0=0
g(1)=f(1)+1=2
由于函数g(x)是连续的，
所以对于x在区间(0,1)内取值时
g(x)可以取到(0,2)内的任意数
显然1在区间（0,2），内，也可以取到
所以存在一个数属于E属于（0,1）,使得g(E)=1
也就是存在一个数E，使得g(E)=1-E
得证。

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答题不易，望合作O(∩_∩)O~
祝学习进步

Answer 2

2. 左边设为f(x),f(0)=-5<0,f(1)=1>0 故在(0.1)至少一根，又当x>0 ,f'(x)=5x^4+20x^3>0 f(x)单增，故f(x)有唯一正根
3，F(x)=f(x)+x-1 F(0)=f(0)-1=-1 F(1)=f(1)=1>0,故在(0,1)至少存在ξ使F(ξ)=0
即：f(ξ)=1-ξ

Answer 3

f(0)<0,f(1)>0 连续函数中值定理知道必有一个实根
f（x）导数求出来，令导数得0 发现4个根中3个是0，且当x>0时，导数大于0 故知道正实根只有一个

3 考虑f(x)+x-1 =g(x), 显然连续，g(0)=-1 g(1)=1 必存在一点t 满足f(t)+t-1=0 倒一下就是3题要求的形式