Question

数列极限证明： 设lim(n->∞)an=a，求证lime(n->∞) (a1*a2……an)^(1/n)=a

Answer 1

由条件a_n>0，可用“调和-几何-算术平均不等式”
n/sum(1/a_k) <= sqrt[n]{product(a_k)} <= (sum(a_k))/n
把乘积转化成和。然后用定义证明两边的极限都是a。最后用夹逼定理立得。

追问

转化成调和不等式的那一边怎么证明极限是a啊？

追答

因正数的极限是非负数，所以a>=0. 记X=n/sum_{k=1}^{n}(1/a_k). (1)
如果a=0，因每个a_k>0，显然X>=0，这正是我们想要证明的.
故，下面可以假设a>0。
按定义，只须证明: 任意eta满足0N, 有X>a-eta. (*)

因lim a_n=a，所以lim(1/a_n)=1/a.
按定义，对于epsilon=eta/3/a/(a-eta)，(2)
存在L，任意n>L，1/a_nL，使得任意n>N, M/nN时，由(1)(4)我们有 X = n/(M+sum_{k=L+1}^n (1/a_k)).
由(3)，上式可以推出
X > n / (M+(n-L)(1/a+epsilon)).
因1/a+epsilon>0，而0 n / (M+n(1/a+epsilon))
= 1 / (M/n + epsilon + 1/a).
由(5)，上式可以推出
X > 1 / (2epsilon + 1/a)
= a - 2a*epsilon/(2*epsilon+1/a).
由(2), 上式可以推出
X > a-eta.
这就证明了(*)。