Question

在多面体ABCDEF中四边形ABCD是正方形，AB =2EF=2,EF//AB,EF|_FB,<BFC=90

Answer 1

柏拉图立体
柏拉图立体 (The Platonic Solids)
我们在日常生活接触很多立体.在众多立体之中,最有 "规律"的便是 "柏拉图立体".为什么会说柏拉图立体很有规律呢 这是因为每一个柏拉图立体,都只是由一种正多边形砌成的.数学家证明了世上只能存在以下五种柏拉图立体.
正四面体 (Tetrahedron)
由四个等边三角形组成
正六面体 (cube / hexahedron)
由六个正方形组成
正八面体 (octahedron)
由八个等边三角形组成
正十二面体 (dodecahedron)
由十二个正五边形组成
正二十面体 (icosahedron)
由二十面等边三角形组成
我们可以试一试数一数这五个柏拉图立体的点,线和面的数目,看看它们是否符合欧拉公式呢!
证明其实很简单大家都可以来试试。首先，在每个联结点上，至少要有三个平面连接才可以成为立体；其次，在每个联结点的平面内，所有的角度总和必须小于360度，试想如果在某一个连接点内用六个等边三角形（注意：所有的正多边形在顶点交汇处都可以化成等边三角形）是无法接合出立体图的，因为六个等边三角形就已经把平面铺满。凭以上两条你可以得到五个符合条件的正多边形的解。

Answer 2

(I)设AC与BD交于点G，则G为AC的中点. 连EG，GH，由于H为BC的中点，故GH‖AB且 GH= AB 又EF‖AB且 EF= AB
∴EF‖GH. 且 EF=GH ∴四边形EFHG为平行四边形.
∴EG‖FH，而EG 平面EDB，∴FH‖平面EDB.
（Ⅱ）证：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.
又EF‖AB，∴ EF⊥BC. 而EF⊥FB，∴ EF⊥平面BFC，∴ EF⊥FH.
∴ AB⊥FH.又BF=FC H为BC的中点，FH⊥BC.∴ FH⊥平面ABCD.
∴ FH⊥AC. 又FH‖EG，∴ AC⊥EG. 又AC⊥BD，EG∩BD=G，
∴ AC⊥平面EDB.
（Ⅲ）解：∵ EF⊥FB，∠BFC=90°，∴ BF⊥平面CDEF.
∴ BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, ∴ BF=FC= 根号2
Vb-def=1/3 X 1/2 X 1 X 根号2 X 根号2 = 1/3