Question

如图1,在四边形ABCD中AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点 连接EF并延长

如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．

Answer 1

 

△OMN是等腰三角形

 

证明：取BD的中点G，连接EG、FG

∵E为BC中点，G为BD中点

∴EG为△BCD的中位线

∴EG∥CD，EG=（1/2）CD

 

同理可证：FG∥AB，FG=（1/2）AB

 

∵AB=CD

∴EG=FG

∴∠1=∠2

∵FG∥AB   ∴∠1=∠4

∵EG∥CD   ∴∠2=∠3

∴∠3=∠4

∴OM=ON

Answer 2

解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE=
AB2
‍‍‍‍‍‍‍，
PE∥AB，
∴∠PEF=∠ANF，
同理PF=
CD2
，
PF∥CD，
∴∠PFE=∠CME，
又PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∴∠OMN=∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．

（2）判断出△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF=
12
AB，
同理，HE∥CD，HE=
12
CD，
∵AB=CD
∴HF=HE，
∵∠EFC=60°，
∴∠HEF=60°，
∴∠HEF=∠HFE=60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°
∴∠AGD=90°
即△AGD是直角三角形。
参考的网址是（http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/c139c5f5-855b-498f-8dda-4d60e9f6e5fa?a=1）
希望采纳

Answer 3

(1)△OMN 为等腰三角形
(2)△AGD 为有一个角为30°的直角三角形
证明:连接BD,取BD中点I,连接FI,EI,因为E,F为BC和AD的中点
所以IE//DC IF//AB IE=1/2*DC=1/2*AB=IF ∠IEF=∠EFC=60°
∠AGF=∠IFE=∠IEF=60°
∠AFG=∠EFC=60°
所以△AGF等边.
AD=2AF
所以GF=FD
所以∠GDF=1/2*∠GDA=30°
所以∠AGD=180-30°-60°=90°

所以△AGD为有一个角为30°的直角三角形