Question

若多项式x^2+ax-12,能分解成两个整系数的一次因式的乘积,试确定符合条件的整数a的值。

若多项式x^2+ax-12,能分解成两个整系数的一次因式的乘积,试确定符合条件的整数a的值。

Answer 1

解：
由已知，不妨设：x²+ax-12=(x+m)(x+n)，其中：m、n为整数。
有：x²+ax-12=x²+(m+n)x+mn
得：
m+n=a……………………(1)
mn=-12……………………(2)
由韦达定理，知m、n是方程y²-ay-12=0的解
y²-ay-12=0
y²-2×(a/2)y+(a/2)²-(a/2)²-12=0
(y-a/2)²=(a/2)²+12
(y-a/2)²=(a²+48)/4
y=[a±√(a²+48)]/2
可见，必有：a±√(a²+48)为偶数
不妨设：a±√(a²+48)=2k，k∈N
(a-2k)²=[±√(a²+48)]²
a²-4ak+4k²=a²+48
-4ak+4k²=48
a=(k²-12)/k
当k=±1时，a=±11
当k=±2时，a=±4
当k=±3时，a=±1
当k=±4时，a=±1
当k=±5时，a=±23/5
显然，当|k|＞4时，a都将不再是整数。
故，可能的a值是：±1、±4、±11。

Answer 2

因为(x+3)(x-4)=x^2-x-12
(x-3)(x+4)=x^2+x-12
所以a1=-1
a2=1

Answer 3

a=11 ,-11,4,-4,1,-1