Question

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=2，角ABC=60°，E为AB中点，P为BD上一点，求PA+PE的最小值 .我需要的

是过点E作垂线的证明方法,而不是过点A,谢谢
这个是过点A的,https://gss0.baidu.com/-vo3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=0fa227b3d53f8794d3aa4028e22b22cc/a6efce1b9d16fdfa32b602e5b58f8c5495ee7be7.jpg

Answer 1

过点E作BD垂线交BC于F，垂足为G，连结AF交BD于Q
∵ AD∥BC,AB=CD=AD=2，∠ABC=60°
∴ ∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°
在△BEG与△BFG中
∠EBG=∠FBG，BG=BG，∠BGE=∠BGF
∴△BEG≌△BFG（SAS）
所以BE=BF=1/2 AB=1，EG=FG，BD是线段EF垂直平分线
∴QE=QF（线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等），QA+QE=QA+QF=AF
在△ABF中，AB=2，BF=1，∠ABF=60°，则由余弦定理得
AF²=4+1-4COS60°=3，AF=根号3
在BD上任取一点R（与Q不重合），连结RA、RE、RF
则RE=RF（线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等），RA+RE=RA+RF
在△RAF中RA+RF>AF（三角形任意两边之和必大于第三边）
所以 PA+PE的最小值为AF=根号3