Question

线性代数有关基础解系的证明

已知x1,x2,x3是齐次方程组AX=0的一个基础解系，记n1=x1-x2，n2=2x2+x3，n3=
-x3+3x1，问n1，n2，n3为什么可以作为AX=0的基础解系。

Answer 1

由题意，Ax=0的基础解系里面有三个向量。
首先，n1，n2，n3是Ax=0的三个不同的解。
其次，n1，n2，n3线性无关。（假设k1n1+k2n2+k3n3=0，整理得(k1+3k3)x1+(-k1+2k2)x2+(k2-k3)x3=0，因为x1,x2,x3线性无关，所以k1+3k3=-k1+2k2=k2-k3=0，所以k1=k2=k3=0）
所以，n1,n2,n3是Ax=0的基础解系。

Answer 2

n1，n2，n3三者线性无关 所以可以作为基础解系