Question

F1 F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点，过F1的直线l与双曲线左右两支分

F1 F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点，过F1的直线l与双曲线左右两支分别交于A B 若三角形ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率是多少？ 要过程！

Answer 1

根据双曲线定义
∴|AF2|-|AF1|=2a   ①
   |BF1|-|BF2|=2a    ②
∵ABF2是等边三角形
|AB|= |AF2|=|BF2|          ③
①+②:|BF1|-|AF1|=4a
即|AB|= |AF2|=|BF2|=4a
∴|BF1|=6a
∵∠F1BF2=60º
根据余弦定理
|F1F2|²=|BF1|²+|BF2|²-2|BF1||BF2|cos60º
∴4c²=28a²
∴e²=c²/a²=7
∴e=√7

 

请反对的朋友也做一下！

Answer 2

设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m-2a
∴|AF1|=2m-2a
∵|AF1|-|AF2|=2a
∴2m-2a-m=2a
∴m=4a
在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°
∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2-2•6a•4a•
1
2

∴c=
7
a
∴e＝
c
a
=
7

故答案为：
7
．