Question

一道高一数学题超高悬赏

请耐心看完题，问题在最后.【例题】试探究函数f（x）=x+a/x（a＞0），x∈（0，∞）的单调性。【思路分析】任取0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=x1+a/x1-x2-a/x2=(x1-x2)(x1x2-a)/x1x2.由于x1-x2及x1x2的符号已定，从而f（x1）-f（x2）的符号取决于x1x2-a的符号。由于x1,x2只能取f（x）的某个单调区间上的值，因此考虑x1=x2这一极端情况，即x1x2-a=x12-a=0，解得x1=x2=根号a，从而将定义域（0，∞）分为两个区间（0，根号a）及[根号a，+∞），由此讨论函数的单调性即可。【研析】任取0＜x1＜x2＜根号a，则x1-x2＜0,0＜x1x2＜a,所以x1x2-a＜0,于是f（x1）-f（x2）=x1+a/x1-x2-a/x2=(x1-x2)(x1x2-a)/x1x2＞0，即f（x1）＞f（x2）。
所以函数f（x）在（0，根号a）上单调递减。
同理可得函数f（x）在[根号a，+∞）上单调递增。【知识引申】在给定的区间内，当某个代数式的符号无法确定时（如本题中x1x2-a），可取极端情况（如x1=x2）入手分析，以此为界分类讨论。 我是想问：为什么取x1=x2然后x1x2-a就=0？

Answer 1

这是一种极限情况，因为要讨论单调性，题目利用定义讨论的，势必要讨论大于等于和小于a的情况，不是说x1=x2就x1x2=a，而是讨论过程中的极限情况

Answer 2

那是取极端情况，要解得极端情况下x1，x2的值，所以就当做等号来解，因为还要讨论x1x2-a>0，x1x2-a<0的情况，所以当做等号来解时比较方便 谢谢采纳。