Question

离散数学：证明：（H，。）和（K，。）是群（G，。）的两个r阶和s阶子群，且r和s互素，则 H∩K ={e}。

Answer 1

首先，H∩K是H的子群，也是K的子群，e∈H∩K。
（证明：H,K是G的非空子群，所以e∈H且k∈K，所以e∈H∩K。
H∩K是H的子集，也是K的子集。
任取a,b∈H∩K，则a,b∈H且a,b∈K，因为H,K是G的子群，所以a(b逆)∈H且a(b逆)∈K，所以a(b逆)∈H∩K。
所以H∩K是H的子群，也是K的子群。）

其次，根据拉格朗日定理，子群H∩K的阶t是H的阶r的因子，也是K的阶s的因子，因为r,s互素，所以r,s的公因子是1，所以t=1。

所以H∩K={e}。

Answer 2

k阶群都是循环群
设G=(a) ,即G由a生成
子群也是循环群
H=(a1)={a1,...,a1的r次}
K=(a2)={a1,...,a1的s次}
若 H∩K 不等于{e},则其还含有其他元素,设其中的一个记为b
显然(b)不等于{e},记(b)的阶为m (不等于1)
又b属于H,则(b)是H的子群,则b整除r
又b属于K,则(b)是K的子群,则b整除s,
b不等于1,所以b是r和s的公因子,与r和s互素矛盾,则
H∩K ={e}。

Answer 3

H∩K还是群，且分别是H和K的子群。
于是|H∩K|必分别整除r和s
如果不为|H∩K|≠1，则与(r,s)=1矛盾!

追问

能不能写一下过程…看不懂……

追答