Question

高等数学A下册的一个二重积分求体积的问题，详情见下图。

我不理解为什么画红圈的地方是R-根号下R²-X²-Y²，而不是(根号下R²-X²-Y²）-R.

Answer 1

第一个球视为大球，第二个小球，求两球公共部分体积。
该解法是将两球公共部分投影到xoy平面，再根据z轴方程差求积分。
第一个球的z的方程：x^2+y^2+z^2<=R^2,移位得到红圈前一陀式子。
第二个球关于z方程可视为：x^2+y^2+(z-R)^2<=R^2,根据z与R大小关系化简，便可得到你圈起来的一坨式子。
后面再根据具体数学工具求解即可，好像用到了极坐标变换，可以视情况灵活选择合适方法。

追问

刚才问题说错了，应该是为什么不是(根号下R²-X²-Y²）+R.我化简就是这样子的%>_<%

追答

z怎么都不可能比R大啊，有个(z-R)^2出来，应该是R-z。
你画个图瞅瞅，光想不好想。

Answer 2

你如果这样看就明白了：

v={{[z2-z1]dxdy
其中，z2是下面一个球的z轴坐标，z1是上面一个球的z轴坐标，
但两球重合的部分，z2在上，z1在下，但是两者都为正数。
即，z2>0，z1>0.
z1=R-根号下R²-X²-Y² >0
高数，还好没有忘记。