Question

向量a=（sinθ，1）b=（1，cosθ ） 若a垂直b

向量a=（sinθ，1）b=（1，cosθ ） 若a垂直b 求θ 求a+b绝对值的最大值

Answer 1

向量a=（sinθ，1）b=（1，cosθ ） 若a垂直b，则它们的数积为0.
即a·b=0,∴|a|×|b|×cos﹤a,b﹥＝0.
干脆我们用勾股定理：（本质一回事）
设向量a所对应的点为A，向量b所对应的点为B，则三角形OAB为直角三角形。所以，
|OA|²＋|OB|²＝|AB|².即
sin²θ＋1 ＋ 1＋cos²θ ＝ (1﹣sinθ)²＋(cosθ﹣1)²,
3＝1－2sinθ＋sinθ²＋1－2cosθ＋cos²θ,
∴sinθ＋cosθ＝0.∴sinθ＝－cosθ,∴tanθ＝－1, θ＝¾π.
又，|a+b|²＝(1+sinθ)²＋(1+cosθ)²＝3+2(sinθ+cosθ)＝3+2√2·sin(θ＋¼π)≦3+2√2,
|a+b|的最大值为3+2√2的平方根，也就是 1+根号2.

Answer 2

向量a=（sinθ，1）b=（1，cosθ ） (1)若a⊥b ，求θ ；(2)求∣a+b∣的最大值
解：(1)。∵a⊥b，∴a•b=sinθ+cosθ=0，即得(√2)sin(θ+π/4)=0，sin(θ+π/4)=0，故θ+π/4=π，θ=π-π/4=3π/4；
(2)。a=(sinθ，1)；b=(1，cosθ)；
故a+b=(sinθ+1，cosθ+1)
∴∣a+b∣=√[(sinθ+1)²+(cosθ+1)²]=√[2(sinθ+cosθ)+3]=√[(2√2)sin(θ+π/4)+3]≦√(3+2√2)=1+√2
即当θ=π/4时∣a+b∣获得最大值1+√2

Answer 3

(1)
a.b=0
(sinθ,1).(1,cosθ)=0
sinθ+cosθ=0
tanθ = -1
θ = 3π/4
(2)
|a+b|^2 = (sinθ+1)^2 + (cosθ+1)^2
= 2+2(sinθ+cosθ)
max|a+b| at θ = π/4
max|a+b|^2 = 2+2√2
max|a+b| = √(2+2√2)

Answer 4

a⊥b → a·b=0
sinθ+cosθ=0
(sinθ+cosθ)²=0
1+sin2θ=0
2θ=-π/2
θ=-π/4

a+b=(sinθ+1,1+cosθ)
(a+b)²=(sinθ+1)²+(1+cosθ)²
=sin²θ+cos²θ+2sinθ+2cosθ+2
=3+2(sinθ+cosθ)
(sinθ+cosθ)²=1+sin2θ≤2
|a+b|=√(a+b)²=√(3+2(sinθ+cosθ))
最大值为√(3+2√2)