Question

函数f(x)=a^x+logax在区间【1，2】上的最大值与最小值之和为a 求a

函数f(x)=a^x+logax在区间【1，2】上的最大值与最小值之和为a 求a

Answer 1

当a=1时f(x)=x+logx在区间【1，2】上梯增且大于0
当a大于1时函数y=a^x单调梯增，且ax在区间【1，2】上大于1，又因为函数y=logax单调梯增，所以y=logax在区间【1，2】上大于0，而y=a^x始终大于0。 由题意可知最大值为正，最小值为负 ，所以a小于1大于0。
对f(x)=a^x+logax求导得f(x)‘=a^xIna+1/<xIna> ，因为a大于0小于1，f(x)‘单调梯增，当x=2时取最大值为a^2Ina+1/<2Ina>小于0，所以f(x)‘在在区间【1，2】上小于0所以f(x)=a^x+logax在在区间【1，2】上单调梯减，当x=1时为最大，x=2时为最小，a+loga=1/2，a^2+log2a=-3/4解出a