Question

∫(0,√2)e^(-y^2)dy∫（0，y）e(-x^2)dx怎么求？为何dy前有e^(-y^2)这一项呢？

这是二重积分

Answer 1

因为该项是只关于y的函数，所以可以放在dy那个积分里面
原本的式子是∫∫ e^(- y²)e^(- x²) dxdy，0 ≤ y ≤ √2、0 ≤ x ≤ y
其中e^(- y²)和e^(- x²)都是不容易积出的，于是用极坐标来处理
{x = rcosθ、{y = rsinθ
y = x --> π/4 ≤ θ ≤ π/2
e^(- y²)e^(- x²) = e^[- (x² + y²)] = e^(- r²)
y = √2 --> rsinθ = √2 --> r = √2cscθ
∫∫ e^(- y²)e^(- x²) dxdy = ∫∫ e^[- (x² + y²)] dxdy
= ∫(π/4→π/2) dθ ∫(0→√2cscθ) e^(- r²) * r dr
= ∫(π/4→π/2) (- 1/2)[ e^(- r²) ]：(0→√2cscθ) dθ
= ∫(π/4→π/2) (- 1/2)[ e^(- 2csc²θ) - 1 ] dθ
= (1/2)∫(π/4→π/2) [ 1 - e^(2/sin²θ) ] dθ、杯具了，这个积分依然无法用初等函数表示、用软件计算
= (π/8)[erf(√2)]² ≈ 0.357776

一般这类题型能用极坐标解出的，可你这个积分域却不配合。