Question

点P是等腰三角形ABC底边BC上一点，过点P作BA，AC的垂线，垂足是E,F，点D为BC的中点

（1）求证：DE⊥DF;(2)当点P在BC的延长线上时，DE⊥DF是否成立?说明理由。 急！！！快快！！！！

Answer 1

证明：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90º
∴四边形AEPF是矩形
∴PE=AF
∵⊿BEP是等腰直角三角形
∴BE=PE=AF
连接AD
∵D为BC中点
∴AD=½BC=BD
AD⊥BC
∴AD平分∠BAC，∠FAD=45º=∠B
∴⊿ADF≌⊿BDE（SAS）
∴∠ADF=∠BDE
∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=90º
∴∠ADE+∠ADF=∠EDF=90º
∴DE⊥DF

Answer 2

你是几年级的学生
该题应该是有问题的，跟你提个思路，以BC为X轴，以D为原点建立坐标系，利用直线的位置关系可以得出当且仅当直线AB斜率为1时，才会有∠EDF为直角，此时△ABC为等腰直角三角形。

追问

八

追答

如果是八年级学生，那么利用解析几何的方法就不太适合了，通过建坐标系的方法可以确定你的题目少个条件，当且仅当△ABC为等腰直角三角形时，才会有DE⊥DF，当然，当点P在BC的延长线上时，DE⊥DF也成立，此时相应的E和F也在两腰的延长线上。这两种情况利用三角形全等和相似的性质都容易证明。下面给出延长线上的证明。
证明：当△ABC为等腰直角三角形时，四边形PEAF为矩形，AF=PE，且∠PBE=45°，则BE=PE=AF，由于D为中点，∴BD=AD，而∠EBD=∠FAD=135°，所以△EBD≌△FAD（边角边），所以∠BDE=∠ADF，所以∠EDF=∠BDA=90°

Answer 3

若将题改为等腰直角三角形则可正，否则不一定成立