Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD=60度，点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点。

1,.若AB=5，CD=3，求△PQS的面积。
2.若△PQS面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上下两底的比CD:AB。
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Answer 1

 

 1、

证明：连接CS、BP；
因为等腰梯形ABCD，CD//AB，
所以OC=OD,OA=OB；
又因为∠ACD=60°，
所以三角形COD、AOB为等边三角形。
在等边三角形COD、AOB中，因为S、P分别为OD、OA中点，
所以CS垂直于BD，BP垂直于AC；
在直角三角形CSB中，因为Q是BC中点，
所以QS=1/2BC=1/AD；
又在直角三角形BCP中，因为Q是BC中点，
所以QP=1/2BC=1/AD；
所以QS=QP=1/2AD；
又因在三角形AOD中，P、S分别为OA、OD的中点，
所以PS=1/2AD；
所以QS=QP=PS
即△PQS是等边三角形！

 

AB=OA=OB=5，CD=OC=OD=3，

 

设CD=x，AB=y，由

AD^2

=AH^2+HD^2

=(y+x/2)^2+(√3x/2)^2

=x^2+y^2+xy

 

S△PQS

=√3/ 4PS^2

=√3/16AD^2

=√3/16(x^2+y^2+xy)

=49√3/16

 

2、

设CD=x，AB=y，由

AD^2

=AH^2+HD^2

=(y+x/2)^2+(√3x/2)^2

=x^2+y^2+xy

 

S△PQS

=√3/ 4PS^2

=√3/16AD^2

=√3/16(x^2+y^2+xy)

 

 

S△AOD

=1/2*AO*DH

=1/2*y*√3x/2

=√3/4xy

 

√3/16(x^2+y^2+xy)：√3/4xy=7 ： 8

 

2X^2-5xy+2y^2=0
(x-2y)(2x-y)=0

 

 

解得，y=2x  (x=2y舍去)

 

CD:AB＝1：2