Question

在平行四边形ABC中，BC=4，AB=2，点E、F分别是BC，AD的中点。求证：

（1）△ABE≌△CDF（2）当是四边形AECF为菱形时，求该菱形的面积。

Answer 1

（1）平行四边形ABCD中，AB=CD=2
角ABC=角CDF
BC=4，点E是BC中点，则BE=CE=2，
点F是AD的中点则AF=DF=2
在三角形ABC中与三角形CDF中
AB=CD
角ABC=角CDF
BE=DF
△ABE≌△CDF
（2）当是四边形AECF为菱形时
AE=EC
又因AB=BE=EC=2
所角ABC=60度，
所四边形AECF可分为两个边长为2等边三角形，
四边形AECF的面积=2*1/2*2*2*根号3/2=2根号3

Answer 2

证明：
1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D,AB=CD,AD=BC
又 点E，F分别是BC，AD的中点
则 BE=BC/2,DF=AD/2
从而 BE=DF
∴⊿ABE≌⊿CDF(边,角,边)
解：
2)若四边形AECF为菱形，则必有 AC⊥EF
可证得 四边形ABEF是平行四边形
从而有 AB//EF,AB=EF=2
则 AB⊥AC
由Rt⊿ABC，可求得 AC=2√3
∴ 菱形面积=对角线乘积的一半=AC*EF/2=2√3*2/2=2√3

Answer 3

①已知AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝½BC＝½AD＝DF，∴△ABE≌△CDF。
②菱形四边相等，故△ABE等边，BE边上的高(中垂线）＝√（2²－1²）＝√3；
∴菱形AECF面积＝2√3.