Question

函数f(x)=x的立方-3x的平方+2,求f(x)在[0,t]t>0内的最大值和最小值

Answer 1

f（x）=（x-1）（x^2-2x-2）=（x-1）[(x-1)^2-3]
∵x-1单增
∴当t＜1时，最小值为f(t)=（t-1）[(t-1)^2-3]=t^3-3t+2,最大值为f（0）=2
当1≤t≤2时，最小值为f（1）=0,最大值为f（0）=f（2）=2
当t＞2时，最小值为f（1）=0,最大值为f(t)=t^3-3t+2
综上：
当t＜1时，最小值为f(t)=（t-1）[(t-1)^2-3]=t^3-3t+2,最大值为f（0）=2
当1≤t≤2时，最小值为f（1）=0,最大值为f（0）=f（2）=2
当t＞2时，最小值为f（1）=0,最大值为f(t)=t^3-3t+2

Answer 2

f（x)=x＾3-3x＾2+2
对称轴=-b/2a=3/2
若t<3/2，则f（x）min=f(t)=t＾3-3t＾2+2
f(x)max=f(0)=2
若t>3/2，①t-3/2的绝对值大于3/2-0的绝对值：f(x)min=f(3/2)=-9/8 f(x)max=f(t)=t＾3-3t＾2+2(t>0)
②t-3/2的绝对值小于3/2-0的绝对值：f(x)min=f(3/2)=-9/8 f(x)max=f（0）=2

Answer 3

对f(x)求导是f（x）‘=3倍x的平方减6倍x。当f（x）‘=0时，根是0和2，也就是说负无穷到0和二到正无穷是单调递增，0到2是单调递减。这时候画个简图，讨论t的位置就是了