Question

①y=x/(x²+x+4) (x>0)的最小值。

②y=x√(1-x²) (0<x<1)的最大值。
③y=(x²+5)/(x²+4)的最小值。
在线等三道题。
谢谢。可追加分。

Answer 1

①y=x/(x²+x+4) (x>0)的最小值。
解：令y'=[(x²+x+4)-x(2x+1)]/(x²+x+4)²=-(x²-4)/(x²+x+4)²=-(x-2)(x+2)/(x²+x+4)²=0，
得驻点x₁=-2；x₂=2；x₁是极小点，x₂是极大点。y(-2)=-2/(4-2+4)=-1/3；y(2)=2/(4+2+4)=1/5
x→+∞lim[x/(x²+x+4)]=x→+∞lim[1/(2x+1)]=0
故在区间（0，+∞)内ymax=y(2)=1/5.
②y=x√(1-x²) (0<x<1)的最大值。
解：令y'=√(1-x²)-x²/√(1-x²)=(1-2x²)/√(1-x²)=-(2x²-1)/√(1-x²)
=-(x√2+1)(x√2-1)/√(1-x²)=0，得驻点x₁=-1/√2; x₂=1/√2；
x₁是极小点；x₂是极大点；y(0)=0；y(1)=0；
在区间(0，1)内的最大值=y(1/√2)=(1/√2)(1-1/2)=1/(2√2)=(√2)/4
③y=(x²+5)/(x²+4)的最小值。
解：y是偶函数。
令y'=[2x(x²+4)-2x(x²+5)]/(x²+4)²=-2x/(x²+4)²=0，得驻点x=0；x<0时y'>0，故在(-∞，0]内y单调增；x>0时y'<0，故在区间[0，+∞）内单调减。x=0是极大点,极大值=y(0)=5/4；
x→±∞lim[(x²+5)/(x²+4)]=x→±∞lim(2x/2x)=1；
该函数有最大值5/4，但没有最小值；

追问

若x 2y=2.则2^x 2^y的最小值

追答

你怎么不写运算符号？x²与y之间或x与2y之间(到底是哪个也搞不清)，2^x与2^y之间是用
什么运算符号连接起来的？你不说清楚，怎么帮你作？

追问

都是加号

追答

若x+ 2y=2，求u=2^x +2^y的最小值
解：由x+2y=2，得x=2-2y；
故u=2^(2-2y)+2^y=4/2^(2y)+2^y=4/(2^y)²+2^y
=4/(2^y)²+(1/2)(2^y)+(1/2)(2^y)≧3{[4/(2^y)²]×[(1/2)(2^y)]×[(1/2)(2^y]}^(1/3)=3
当且仅仅当4/(2^y)²=(1/2)(2^y)，即(2^y)³=8，即2^y=2，y=1时等号成立。
即当y=1，x=0时u=2^x +2^y获得最小值3.

追问

y=x²(1-3x)(0<x<1/3)的最大值。 直接追加分，帮下忙，我不会。

追答

y=x²(1-3x)(0<x<1/3)的最大值
解：y=-3x³+x²，令y'=-9x²+2x=-9x(x-2/9)=0，得驻点x₁=0，x₂=2/9；
当0≦x≦2/9时y'≧0，故在区间(0，2/9]内单调增；
当2/9≦x≦1/3时，y'≦0，故在区间[2/9，1/3]内单调减。
故x₂=2/9是极大点，极大值=y(2/9)=(2/9)²(1-6/9)=(4/81)(3/9)=4/243；
由于y(0)=y(1/3)=0<4/243，故y(2/9)=4/243也是区间(0，1/3)上的最大值。

Answer 2

1, 求倒 1/y=x+1+4/x>=1+2*2=5 所以y的最小值为1/5
2, 三角换元 令x=sina(a属于0到π/2) y=sinacosa=1/2*sin2a 所以y的最大值为1/2
3. 判别式 （y-1)x²+4y-5=0 Δ=-（y-1)（4y-5）=0时取最大值，
又y>1,所以y的最大值为5/4
或者这样做更简单，y=1+1/(x²+4) 因为x²+4>=4 ，那么1/(x²+4)<=1/4。即y<=5/4

追问

若x 2y=4.则2的x次幂 4的y次幂的最小值为？可不可以讲一下。

追答

你能把x 2y=4.则2的x次幂 4的y次幂写的具体一点不 ?

追问

x 加 2y=2.则2^x 加2^y的最小值