Question

已知：等边三角形ABC边长为6，P为BC边上一点，bp=4,点ef分别在边ab/ac上，且角epf=60度，设be=x,cf=y.

求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

若四边形aepf的面积为4根号3，求x的值。
求四边形面积的最大值。直接写出答案。

Answer 1

解：因为等边三角形ABC边长为6，BP=4
所以∠B=∠C=60°，CP=6-4=2，∠BEP+∠BPE=120°
因为角epf=60度
所以∠CPF+∠BPE=180°-60°=120°
所以∠BEP=∠CPF
所以△BPE∽△CPF
所以BE:BP=CP:CF
即x：4=2：y
所以y=8/x(0<X<6)

追问

下面还有两小问呢

追答

（2）作高，利用勾股定理得△ABC 的高是3√3
S△ABC=6×3√3÷2=9√3
过点P分别作AB、AC边的垂线段PM、PN
可算得PM=2√3，PN=√3
则S△BPE=BE×PM÷2=√3x，
S△CPF=CF×PN÷2=√3y÷2=4√3/x
根据四边形aepf的面积为4根号3得：
S△BPE+S△CPF=S△ABC-4√3
即√3x+4√3/x=9√3-4√3
化简得：x²-5x+4=0
解得x1=1，x2=4
（3）四边形面积的最大值是5√3x

追问

第一小问取值范围错了4/3≤x≤6

Answer 2

解：
利用正弦定理，
设∠BPE=a,
则∠BEP=∠CPF=120°-a，
∠CFP=∠BPE=a,
在ΔBPE中使用正弦定理，
4/sin(120°-a)=x/sina ..(1)
在ΔCPF中使用正弦定理，
2/sina=y/sin(120°-a) ..(2)
(1)*(2),得
xy=8
y=8/x
由于F在AC上，F最高可以到达A，即y最大取6，
故x最小取4/3
所以y=8/x(4/3≤x≤6)

SΔABC=9√3
SΔBPE=1/2*4x*sin60°=x√3
SΔCPF=1/2*2y*sin60°=y√3/2
S(AEFP)=9√3-x√3-y√3/2
=(9-x-y/2)√3
=4√33
x+y/2=5
xy=8
x=4,y=2

如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！

Answer 3

证出EBP和PCF相似就有FC/BP等于PC/BE。即XY＝8(0＜X＜？)
0第二题做E⊥BP,P⊥CF的垂线与G,H.EBP的面积为根号3X,PCF的面积为根号3/2Y,ABC为9根号3,四个面积关系可得根号3X＋根号3/2Y＋4根号3=9根号3,即2X＋Y＝10,连立XY＝8得X1＝4,Y1＝2,X2=1,Y2=8(舍去)
手机党伤不起，中间部分过程省略