Question

圆锥曲线的一道题

在平面直角坐标系xoy。已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>=1)的离心率√ 3/2,且椭圆上的一点N到Q（0,3）的距离最大值为4，过点M（3,0）的直线交椭圆C于点A，B。
（1）求椭圆C的方程
（2）设P为椭圆上一点，且满足向量OA＋向量OB＝t倍的向量OP（O为原点），当｜AB｜＜√ 3时求实数t的取值范围

Answer 1

记，椭圆与Y轴交点，上边为P1,下边为P2.
(1)由离心率=√ 3/2，可以得到c:a=√ 3/2,又b^2+c^2=a^2,得到a=2b.因为Q在Y轴上，所以到Q最大距离值为P2M的距离为P2M=3-(-b)=4,所以b=1.a=2.，得到椭圆方程，x^2/4+y^2=1
（2）第二问我做了一下，把大概思路写下来吧。计算太复杂了。具体的你看一下答案。
若直线AB斜率不存在，OA+OB=0向量，不可能满足题设条件。故设直线斜率为K。直线方程Y=K(X-3),带入椭圆方程。得到了一元二次方程，设两根分别为x1,x2.根据Δ>0，得到第一个关于k的不等式。解出k的范围。根据|AB|=√(1+k^2)*(X1-X2),于是得到如下关系式
（1+k^2）[(x1+x2)^2-4x1*x2]<3,其中x1+x2=24k^2/(4k^2-1),x1*x2=(36k^2-1)/(4k^2+1)，解出第二个关于k的不等式。
又由于向量关系 ， 有x1+x2=t*x0,y1+y2=t*y0..(x0,y0)在椭圆上。所以可以得到
(x1+x2)^2/4+(y1+y2)^2=t^2,其中y1+y2=k(x1+x2-6),得到了t^2关于k 的表达式，把上面得到两个关于k的不等式带入，求k在这一范围内的极大极小值，便可得到|t|的取值范围，即t的取值范围。
具体计算实在没有算出来，一个不太好解的二次不等式。我也尝试了在两个不等式之间寻找常熟倍的关系，没有找到。你可以再试一下。

追问

怎么知道到Q距离最大的点一定是P2？

追答

不好意思这么久才继续回答。
首先假设Q在椭圆内或刚好在椭圆上，于是，
Q到椭圆与Y负半轴交点P2之间距离L>=2*3=6>4,
所以Q点一定在椭圆外。
即b<3.并且有X^2=4(b^2-Y^2) (a=2b代入椭圆方程，变形得到)
设椭圆上这任一点坐标为P(X,Y).连接PQ
PQ^2=X^2 (Y-3)^2
=4(b^2-y^2) (y-3)^2
=-3y^2-6y 4b^2 9
这里y∈[-b,b],b<=3.
分析关于y的二次函数，对称轴为-1,所以该二次函数在y=-1处取得最大值，
将y=-1代入，得到
PQ^2(最大值）=-3 6 4b^2 9=16,于是b=1.

追问

你那么厉害啊，你是干什么的，学生吗？

追答

不客气 ～～～ 关键就是搞清楚问题是什么样的，然后想办法向未知靠拢。有点像反推法，努力构造自己需要的条件。
我需要求什么，所以我需要条件XXX，但是题目没有给，XXX可以由YYY推出，而YYY则可以由已知条件推出。所以就形成了由
已知条件 →→→YYY→→→XXX→→→ 最后结果
的求解过程。 千万不要拿到题目就把以前学的什么各种方法一通乱试，效率很低。