Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y= 2 x 于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD

（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0），求证AD•BD为定值。
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
（4）在（3）中，在y轴上是否存在一点P，使△DOP是以OD为腰的等腰三角形，若存在请写出O点坐标并说明理由，若不存在也请说明理由。
图：http://img.jyeoo.net/quiz/images/201108/20/8eda78ec.png

Answer 1

（1）A（0，b），B（-b，0），则OA=OB=b
故△AOB为等腰直角三角形，∠ABO=45°
在△BED中，∠BDE=180°-∠EBD-∠BED=180°-45°-90°=45°
∠BDE=1/2∠CDE
所以AD平分∠CDE
（2）D点坐标（x，y）同时满足方程y=x+b和xy=2
AD*BD=√2OE*√2BE=2x*（b+x）=2xy=4为定值
（3）假设存在直线AB使得四边形OBCD为平行四边形，需要CD=BO=b
x=b代入方程y=x+b和xy=2，
解得y=2，b=1
所以直线AB为y=x+1
（4）联立y=x+1和xy=2，解得D（1,2），OD=√[(1-0)^2+(2-0)^2]=√5
1）OD=OP=√5，显然P（0，√5）或（0，-√5）
2）OD=DP=√5，设P（0，y）
PD=√[(1-0)^2+(2-y)^2]=√5，解得y=0（与原点重合，舍去）或y=4
综上，P（0，√5）或（0，-√5）或（0,4）

Answer 2

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