Question

已知函数f(x)=-1/3x^3-1/3x^2+5/3x-4, x属于0到正无穷。(1)求f(x)的极值(2)当x属于[0,1]时，求f(x)的值域

Answer 1

f'(x)=-x^2-2/3x+5/3=-1/3*(3x^2+2x-5)=-1/3(3x+5)(x-1)
x>0,那么有f'(x)>0时有x<1,f'(x)<0时有x>1
故在X=1处取极大值,是f(1)=-1/3-1/3+5/3-4=-3
在[0,1]上单调增,则有最小值是f(0)=-4,最大值是f(1)=-3
故值域是[-4,-3]

Answer 2

求导数f'=-x^2-2/3x+5/3=0;
x=1或者-5/3
由于x>0;
所以x=1；
代入得f(x)=-3;
由导数知，x在[0,1]时导数大于0;
所以为增函数，x=0时为最小值
代入得f(0)=-4;
值域为[-4,-3]

Answer 3

f`(x)=-x^2-2/3x+5/3=0 x1=-5/3 舍去 x2=1 (0,1) f`(x)>0 (1,+无穷）f`(x)<0 x=1处取极大值 极大值为-3
[0,1]增 f(0)<=f(x)<=f(1) 值域[-4,-3]