Question

一道关于物理力矩平衡的题目

如图所示，一块均匀的木板架在三个支点上，两个支点A、B在板的两端，C在板的三分之一处。已知板的重量为G，常为L，求各支点的支持力。

为什么我列出来的方程都可以化简到同一个式子，求大神指导

Answer 1

1.如图1，木板自由搁在三个支点上时，支座反力RA=G·L/3；RB＝G·2L/3；RC＝0.

2.如图2，木板可动铰接在三个支点上时，无解，因为结构为非静定，是瞬变机构，不能用静定平衡的方程来解答。

3.如图3，木板固定铰接在三个支点上时，系超静定结构，两跨连续梁，因梁的刚度相同，可以要用三弯矩方程来求解出B支座的弯矩，再求解支座反力。因荷载不对称，无现成的表格可查。

追问

能解释一下图一RC为什么等于0吗

追答

①力的传递的属性是走捷径，题设的（不需要明文的）条件当然是这三个支座都不发生沉降变形的；②木板在G重力作用下AB跨中有挠度向下，则C端会向上脱离了搁置点，RC存在吗？前提说了
“自由搁在三个支点上”的。

追问

支座反力还没有学过，那你这样算出来的Na=G/4 Nb=0 Nc=3G/4吗？（你的图B、C标反了）
我是高中生，有没有简单点的解释。。谢了

追答

中学生不适合这种力学题目。啊，标反了！你的题也不大合乎常情！哈哈......

Answer 2

由题意知，AB＝L，BC＝L / 3，板重为G
分析：对板分析受力，有重力G（在板的中点处），A处的支持力FA（竖直向上），B处的支持力FB（竖直向上），C处的支持力FC（竖直向上）。
　　由于板是静止的（平衡状态），有合力为0，合力矩为0。
由合力为0　得　G＝FA＋FB＋FC
由合力矩为0　得
G*（L / 2）＝FC* [ L－( L / 3 )]＋FB* L　　　　　　　　　（以A端为轴）
FA*L＝G* ( L / 2)＋FC* （L / 3）　　　　　　　　　　　　（以B端为轴）
FA* [ L－( L / 3 ) ]＝G* [ ( L / 2)－( L / 3 )]＋FB*（L / 3）　　（以C点为轴）
　　注：以上共有四个方程，其中只有三个方程是独立的，由其中三个方程可推导得第四个方程。

追问

可是貌似这方程解不出来哎

追答

G＝FA＋FB＋FC　　－－－－－－－－－－方程1
其他3个方程两边同时除以L后，并整理　得
3G＝6*FB＋4*FC　　－－－－－－－－－－方程2　　（以A端为轴）
3G＝6*FA－2*FC　　－－－－－－－－－－方程3　　（以B端为轴）
G＝4*FA－2*FB　　　－－－－－－－－－－方程4　　（以C点为轴）
由方程2和3　得　6G＝6*（FA＋FB）＋2*FC＝6*（FA＋FB＋FC）－4*FC
将方程1　代入上式　得　6G＝6G－4*FC
那么　FC＝0
将　FC＝0　代入方程3　得　FA＝G / 2
将　FA＝G / 2　代入方程4　得　FB＝G / 2

Answer 3

这题解不是唯一的，列出的方程组不满秩，得到一个线性方程的解。

追问

恩，可是答案上写F（b）=0.，是答案错了吗？

追答

是的。要嘛还有别的条件。你看，如果图里任意去掉一个支点，照样能平衡吧，说明三点的作用力都可能为0.

追问

那这会不会是因为只要物体重力作用线过与地面接触面物体就不摔倒是一个道理？

Answer 4

Fa*0.5*L=Fb*(L/6)+Fc*0.5*L
Fa+Fb+Fc=G
解有很多个