Question

已知F1F2分别是双曲线x2/a2-y2/b2=1（a>0 b>0)的左右焦点，P为双曲线上的一点，若角PF1F2=90度，

且三角形F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率为 谢谢~

Answer 1

若|PF1|+|PF2|=2c，则
结合|PF2|-|PF1|=2a得|PF2|=a+c，|PF1|=c-a
由勾股定理得|PF2|²=|PF1|²+|F1F2|²，即(a+c)|²=(c-a)²+4c²，化简得a=c，矛盾.

所以|PF2|+|F1F2|=2|PF1|，结合|PF2|-|PF1|=2a可得|PF1|=2(a+c)，|PF2|=4a+2c，

又|PF2|²=|PF1|²+|F1F2|²，所以(4a+2c)²=4(a+c)²+4c²，化简得c=2a.

所以e=2.

追问

|PF2|+|F1F2|=2|PF1I为什么不是IPF2I+IPF1I=2IF1F2I? 谢谢

追答

前面分析了，如果是后者得到a=c，双曲线里面a<c，矛盾.