Question

求解：几何问题（难题）

已知矩形ABCD，延长BC至点E，连接AE，F为AE中点，且CE=AE。求证：BF⊥DF

Answer 1

连BD，BD交AC于G，连FG并延长，交DC于H
因为F为AE的中点，AB垂直EC
所以FB=AF，角FAB=角FBA
又因为角BAC=角ABD
所以角FBD=角EAC
又AE=EC
所以角EAC=角ECA=角FBD
又因为BD=AC
所以三角形AFC全等于三角形BFD
所以FC=FD
又因为GC=GD
所以三角形FGC全等于三角形FGD
所以角CFH=角DFH
所以三角形CFH全等于DFH
所以H为DC的中点
所以FH=（AD+EC）/2
又因为AD//BC AD=BC
所以BE=AD
所以AEBD为平行四边形
所以AE//BD
又因为角ADB=角ACB=角FBD
所以AFBD为等腰梯形
所以角BFD=角BAD=90°
即BF垂直FD

希望对你有帮助，望采纳！！！

Answer 2

解：连接AF，∵AC=AE，FE=FC
∴∠AFC=90°在直角△CBE中，F点是CE中点
∴FC=FB，易证△AFB≌△DFC
∴∠AFB=∠DFC
∴∠BFD=90°
∴BF⊥DF

追问

有点乱吧，你好像看错点了

Answer 3

这个题是少条件的，AB和BC的比例未知，因而根据两种极限情况，即AB/BC=1和AB/BC=无穷大，可知角BFD的范围是0度到135度。

Answer 4

这题根本就是错的。

追问

不

追答

楼主我不会没有根据的瞎说，你就设AB=2 BC=1好了，根据CE=AE会解出BE=3/2，然后看BF的斜率是4/3 DF的斜率是4/7 两者根本不垂直的。
至于上面那个很长的证明，请楼主看看评论，智者见智。
真是讽刺，好吧，让我完整地写一下全过程吧。
这里假设AB=a，BC=b，BE=c,(这里a b 为已知量，尝试将c用a b表示)
因为AE=CE
√(a^2+c^2)=b+c
那么a^2+c^2=b^2+c^2+2bc
c=(a^2-b^2)/2b
作FH垂直于AB交DC于H,
tan∠HFB=(a/2)/(c/2)=a/c=2ab/(a^2-b^2)(这里假设a不等于b)
tan∠HFD=(a/2)/(c/2+b)=2ab/(a^2+3b^2)
那么tan∠BFD=tan∠(HFD+HFB)=(tan∠HFB+tan∠HFD)/(1-tan∠HFBtan∠HFD)
如果∠BFD=90°
tan∠HFBtan∠HFD=1
那么得到(2ab/(a^2+3b^2))(2ab/(a^2-b^2))=1
推得
4a^2b^2=a^4+2a^2b^2-3b^4
(a^2-3b^2)(a^2+b^2)=0
因为a b>0
那么当且仅当a=√3 b时可以得到∠BFD=90°。
其他时候
∠BFD=arctan(4ab/(a^2-3b^2))
=arctan(4/(a/b-3b/a))
对于a/b-3b/a，如果a/b>1,
那么a/b-3b/a>-2，
那么4/(a/b-3b/a)的取值范围是 (-无穷，-2)U(0,无穷)
由此得到∠BFD的取值从0到135°
PS(当且仅当AB=√3 BC时可以得到∠BFD=90°。)

这道题真正的错误在于题目给定的是CE=AE，
经过好友提醒，发现AC=CE才是真正条件。
在此条件下，连接CF，由于AC=CE，ACE是等腰三角形，而F是AE中点，
∴CF⊥AE
之后由于DF=CF AC=BC
AF=EF=BF
△AFD≌△DFB
∴∠AFD=∠BFC
∴∠BFD=90°
∴BF⊥DF

由此我们发现第一个回答的吕剑布仙才是正解。