求解:几何问题(难题)

已知矩形ABCD,延长BC至点E,连接AE,F为AE中点,且CE=AE。求证:BF⊥DF... 已知矩形ABCD,延长BC至点E,连接AE,F为AE中点,且CE=AE。求证:BF⊥DF 展开
百度网友28d4994
2013-05-09 · TA获得超过1242个赞
知道小有建树答主
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连BD,BD交AC于G,连FG并延长,交DC于H
因为F为AE的中点,AB垂直EC
所以FB=AF,角FAB=角FBA
又因为角BAC=角ABD
所以角FBD=角EAC
又AE=EC
所以角EAC=角ECA=角FBD
又因为BD=AC
所以三角形AFC全等于三角形BFD
所以FC=FD
又因为GC=GD
所以三角形FGC全等于三角形FGD
所以角CFH=角DFH
所以三角形CFH全等于DFH
所以H为DC的中点
所以FH=(AD+EC)/2
又因为AD//BC AD=BC
所以BE=AD
所以AEBD为平行四边形
所以AE//BD
又因为角ADB=角ACB=角FBD
所以AFBD为等腰梯形
所以角BFD=角BAD=90°
即BF垂直FD

希望对你有帮助,望采纳!!!
敛雨筠00n
2013-05-09 · TA获得超过7325个赞
知道小有建树答主
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解:连接AF,∵AC=AE,FE=FC
∴∠AFC=90°在直角△CBE中,F点是CE中点
∴FC=FB,易证△AFB≌△DFC
∴∠AFB=∠DFC
∴∠BFD=90°
∴BF⊥DF
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有点乱吧,你好像看错点了
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czx2012love
2013-05-09
知道答主
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这个题是少条件的,AB和BC的比例未知,因而根据两种极限情况,即AB/BC=1和AB/BC=无穷大,可知角BFD的范围是0度到135度。
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sher1986
2013-05-09 · TA获得超过161个赞
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这题根本就是错的。
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楼主我不会没有根据的瞎说,你就设AB=2 BC=1好了,根据CE=AE会解出BE=3/2,然后看BF的斜率是4/3 DF的斜率是4/7 两者根本不垂直的。
至于上面那个很长的证明,请楼主看看评论,智者见智。
真是讽刺,好吧,让我完整地写一下全过程吧。
这里假设AB=a,BC=b,BE=c,(这里a b 为已知量,尝试将c用a b表示)
因为AE=CE
√(a^2+c^2)=b+c
那么a^2+c^2=b^2+c^2+2bc
c=(a^2-b^2)/2b
作FH垂直于AB交DC于H,
tan∠HFB=(a/2)/(c/2)=a/c=2ab/(a^2-b^2)(这里假设a不等于b)
tan∠HFD=(a/2)/(c/2+b)=2ab/(a^2+3b^2)
那么tan∠BFD=tan∠(HFD+HFB)=(tan∠HFB+tan∠HFD)/(1-tan∠HFBtan∠HFD)
如果∠BFD=90°
tan∠HFBtan∠HFD=1
那么得到(2ab/(a^2+3b^2))(2ab/(a^2-b^2))=1
推得
4a^2b^2=a^4+2a^2b^2-3b^4
(a^2-3b^2)(a^2+b^2)=0
因为a b>0
那么当且仅当a=√3 b时可以得到∠BFD=90°。
其他时候
∠BFD=arctan(4ab/(a^2-3b^2))
=arctan(4/(a/b-3b/a))
对于a/b-3b/a,如果a/b>1,
那么a/b-3b/a>-2,
那么4/(a/b-3b/a)的取值范围是 (-无穷,-2)U(0,无穷)
由此得到∠BFD的取值从0到135°
PS(当且仅当AB=√3 BC时可以得到∠BFD=90°。)

这道题真正的错误在于题目给定的是CE=AE,
经过好友提醒,发现AC=CE才是真正条件。
在此条件下,连接CF,由于AC=CE,ACE是等腰三角形,而F是AE中点,
∴CF⊥AE
之后由于DF=CF AC=BC
AF=EF=BF
△AFD≌△DFB
∴∠AFD=∠BFC
∴∠BFD=90°
∴BF⊥DF

由此我们发现第一个回答的吕剑布仙才是正解。
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