Question

函数几何结合题求解

16．（本题7分）已知如图，双曲线y=k/x经过RT△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，OA=3AN,△OAB的面积为21，求k的值

Answer 1

设OM=m，MN=n
B（m，k/m）
A（3/4m，3/4n)
9mn=16k
mn/2=OBN+OBM=28+k/2
K=72

追问

能不能把计算过程以及详细过程写出来。我再多给你100财富QAQ

追答

哪一步看不懂？9mn=16k 是把A坐标代入y=k/x的结果
mn/2=OBN+OBM=28+k/2 左边是OMN面积
OBN=OAB+ABN=21+OAB/3=28

Answer 2

过A作AD垂直于OM交于D
在,△OBN中有，S△OAB:,S△ABN=OA:AN,S△OAB=21
S△ABN=1/3*S△OAB=1/3*21=7
又S△OAB+S△OBM=S△OAD+S梯形BMDA
因S△OBM=S△OAD＝1/2k
S△OAB=S梯形BMDA=21
S四边形MNDA=S梯形BMDA+S△ABN=21+7=28
AD//MN
S△OAD:S△OMN=(OA/ON)^2=9/16
1/2K:(1/2K+28)=9/16
K=72

Answer 3

根据题意设B点坐标为(xb,k/xb),A点坐标为(xa,k/xa)
则直线ON的方程为(y-0)/(k/xa-0)=(x-0)/(xa-0),即yxa/k=x/xa,所以y=kx/xa^2
而直线MN的方程为x=xb;
所以N点坐标为(xb,kxb/xa^2)
因为OA=3AN,则OA=3ON/4,即OA^2=9ON^2/16
所以OA^2=xa^2+k^2/xa^2=9(xb^2+k^2xb^2/xa^4)/16,则16xa^6+16k^2xa^2=9xb^2xa^4+9k^2xb^2
所以xb^2=(16xa^6+16k^2xa^2)/(9xa^4+9k^2)=16xa^2(xa^4+k^2)/[9(xa^4+k^2)]=16xa^2/9,
所以xb=+-4xa/3,根据题图，得xb=4xa/3;
所以AB^2=(xa-xb)^2+(k/xa-k/xb)^2=xa^2/9+k^2[1/xa-3/(4xa)]^2=xa^2/9+k2^2/(16xa^2)

OA^2=xa^2+k^2/xa^2,
OB^2=xb^2+k^2/xb^2=16xa^2/9+9k^2/(16xa^2)
=OA^2+AB^2=xa^2+k^2/xa^2+xa^2/9+k2^2/(16xa^2)=10xa^2/9+17k^2/(16xa^2)
所以(16/9-10/9)xa^2=2xa^2/3=(17/16-9/16)k^2/xa^2=k^2/(2xa^2)
所以xa^4=3k^2/4

△OAB的面积为21
所以OA^2*AB^2/4=21^2,则[xa^2/9+k2^2/(16xa^2)][xa^2+k^2/xa^2]=4*21^2
所以xa^4/9+k^2/16+k^2/9+k^4/(16xa^4)=4*21^2
所以k^2/12+k^2/16+k^2/9+k^4/(12k^2)=4*21^2=k^2(1/12+1/16+1/9+1/12)=k^2(24+9+16)/144=49k^2/144
所以2*21=+-7k/12,k=+-12*2*21/7=+-72
由于体重双曲线在第一象限，所以k=72

Answer 4

设A点坐标为（x1,k/x1),B点坐标（x2,k/x2),
OA=3AN,ON=4/3OA,,x2=4/3x1
过A作AE,AF，分别垂直于x,y轴于E,F;则
S四边形OABM=S△OAE+S梯形ABME=1/2x1*k/x1+1/2(x2-x1)(k/x1+k/x2)=19/24k
S△OAB=S四边形OABM-S△OMB=19/24k-1/2x2*k/x2=7/24k=21
k=72