Question

点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点，过点P作BA,AC的垂线，垂足是E,F，点

点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点，过点P作BA,AC的垂线，垂足是E,F，点D为BC的中点
（1）求证：DE垂直DF
（2）当点P在BC的延长线上时，DE垂直DF是否成立？说明理由
问题补充：

Answer 1

1、连接AD，D是BC中点
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠FAD=∠CAD=∠B=45°
AD=BD=1/2BC
AD⊥BC
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°
∴∠PEA=∠EAF=∠AFP=90°
∴AEPF是矩形
∴AF=PE
∵∠B=45°,∠PEB=90°
∴△BPE是等腰三角形
∴BE=PE=AF
∴△ADF≌△BDE(SAS)
∴∠ADF=∠BDE
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=∠EDF=90°
∴DE⊥DF
2、
连接AD，D是BC中点
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠CAD=∠ACB=45°
AD=BD=DC=1/2BC
AD⊥BC
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=∠EAF=90°
∴∠PEA=∠EAF=∠AFP=90°
∴AEPF是矩形
∴AE=PF
∵∠EAD=∠EAF+∠CAD=90°+45°=135°
∠DCF=180°-∠ACB=135°
∴∠EAD=∠DCF
∵∠PCF=∠ACB=45°
∠PFC=90°
∴△PCF是等腰直角三角形
∴PF=FC=AE
∴△ADE≌△DCF(SAS)
∴∠ADE=∠FDC
∵∠ADE+∠EDC=90°
∴∠FDC+∠EDC=∠EDF=90°
∴DE⊥DF

Answer 2

连接AD，AD=BD，角B=角DAC=45度，角ADB=90度，
四边形EPFA是矩形，AF=EP=BE
三角形BED和FAD全等，
角EDB=角ADF，
角EDF=角QDF+角ADE=角ADE+角EDB=角ADB=90度，
DE垂直DF
若点P在BC的延长线上时,仍有DE垂直DF.证明方法同上