Question

已知函数f(x)=(2x-1)/〖(x-1)〗^2 ,求函数的单调区间,极值,凹凸区间,拐点,渐近线

求助啊，麻烦给个详细的答案，我追加50分

Answer 1

原函数的定义域：x不等于1（分母不为0）
求导：f'(x)=-2x/(x-1)^3 =[-2x/(x-1)]/ (x-1)^2
分母(x-1)^2 是一直大于0的
对于导函数的符号，我们只用考虑分子-2x/(x-1)
我们有 f'(x)>0 当 0<x<1 ,即函数的单调增区间
f'(x)<0 当 x<0或 x>1 ，即函数的单调减区间
当x=0和1时f'(x)=0,即此时我们有两个极值，其中f(0)是极小值，f(1)是极大值，但是这里x不能取1，所以f在x=1这一点是不连续的，即f(1)趋近于正无穷，所以f只有一个极值：
f(0)=-1
x=0就是一个拐点

在x<0上：
f''(x)=（4x^3-6x^2+2)/(x-1)^6 分母大于0，只考虑分子

对于 4x^3-6x^2，当x<0时，是恒负的，且单调递增
4x^3-6x^2+2=0有一个根可以看出来：x=-0.5，则我们有x<-0.5，f''(x)<0，即f在递减时斜率减缓，所以是凹函数，反之0>x>-0.5是凸函数

在x>1上：
令h(x)=4x^3-6x^2+2
h'(x)=12x(x-1)
x>1时h是递增的
h(1)=0
则在x>1上f''(x)>0，为凸函数

在 0<x<1上：
h'(x)<0
h(x)<h(1)=0
即f''(x)<0，为凹函数

渐近线：
在x<0上：
lim（x-->0）f‘(x)=0
即渐近线为y=f(0)=-1
在x>1上：
lim（x-->正无穷）f(x)=0
lim（x-->正无穷）f’(x)=0
所以渐近线为y=0
在 0<x<1上：
lim（x-->1）f(x)=正无穷
lim（x-->1）f‘(x)=正无穷
所以渐近线为x=1

追问

那个拐点和凹凸区间是不是不对啊，麻烦你再帮我算一下吧。我记得拐点是曲线凹和凸的分界点，f‘’（x）>0是凹的，<0是凸的。还有是不是这个函数没有斜渐近线（另外最后那些都是趋向于正无穷吗）？