Question

已知抛物线C y2=2px(p>0)的准线为L,焦点为F 圆M的圆心在X轴的正半轴上且与y轴相切

过原点o作倾斜角为π/3的直线交L于点A，交圆M于另一点B，且AO=OB=2
(1)求圆m和抛物线的方程
（2）过圆心M的直线交抛物线C于PQ两点，求OP向量乘OQ向量的值

谢谢
急求！！

Answer 1

1.因为p/2=OAcos60=2*1/2=1,p=2
故抛物线方程是y^2=4x.
因为MO=MB,且有角BOM=60,故有三角形BOM是等边三角形,则有MO=OB=2
即圆心坐标是(2,0),半径是2
那么圆的方程是(x-2)^2+y^2=4.
2.设过M(2,0)的直线方程是y=k(x-2),代入到抛物线方程中有:
k^2(x^2-4x+4)=4x

k^2x^2-(4k^2+4)x+4k^2=0
设P坐标是(x1,y1),Q(x2,y2)

x1+x2=(4k^2+4)/k^2,x1x2=4k^2/k^2=4
y1y2=k^2(x1x2-2(x2+x1)+4)=k^2(4-(8k^2+8)/k^2+4)=8k^2-(8k^2+8)=-8
那么向量OP*OQ=(x1,y1)*(x2,y2)=x1x2+y1y2=4-8=-4