Question

高等数学曲面积分问题

曲面积分(x+y+z)dS,其中曲面为平面y+z=5被柱面x^2+y^2=25所截得的部分，求详细过程，特别是后面那个曲面是怎么求的？

Answer 1

曲面S的方程是y+z=5，即z=5-y，所以αz/αx=0，αz/αy=-1，所以dS=√2dxdy。
S在xoy面上的投影区域是D:x^2+y^2≤25。
∫∫(x+y+z)dS=∫∫(x+5)√2dxdy=√2∫∫xdxdy+5√2∫∫dxdy=0+5√2×25π=125√2π。
（其中∫∫xdxdy根据二重积分的对称性可以直接得到结果0。）

Answer 2

　　对积分曲面y+z=5计算
　　 Dz/Dx=0，Dz/Dy=1，
得
dS = sqr[(Dz/Dx)^2+(Dz/Dy)^2]dxdy = dxdy，
积分曲面在xOy面上的投影区域为
　 　D：x^2+y^2<=25，
于是曲面积分
　 　 (S)∫∫(x+y+z)dS
　 　= (D)∫∫(x+5)dxdy （二重积分）
　 　= …… （留给你）

Answer 3

∫∫（x+y+z)dS=∫∫xdS+∫∫(y+z)dS=0+∫∫5dS=5√2∫∫dxdy=5√2×25π=(125√2)π