Question

已知函数f(x)=1/2x2+lnx，求证：在区间(1，+∝)上，函数f(x)的图像在函数g(x)=

已知函数f(x)=1/2x2+lnx，求证：在区间(1，+∝)上，函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x3的图像的下方

Answer 1

设h(x)=g(x)-f(x)=2/3x³-1/2x²-lnx
∵h(x)=2/3x³-1/2x²-lnx ∴h'(x)=(2x³-x²-1)/x=(x-1)(2x²+x+1)/x
∵x>1 ∴h'(x)>0，即h(x)单增
∵h(1)=1/6>0，又∵x∈(1,+∞)时h(x)单增 ∴h(x)>h(1)>0
∵h(x)>0 ∴g(x)>f(x)，即函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x³的图像的下方

Answer 2

两函数相减，证明恒小于零

Answer 3

令函数F(x)=f(x)-g(x)=1/2x^2+lnx-2/3x^3
证明F(x)在(1，+∝)上大于0恒成立