Question

已知函数f(x)=ln(e^x+a)是实数集R上的奇函数，若 函数f(x)=lnx—f(x)(x^2—2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点

则实数m的取值范围是多少？

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数
∴满足f（0）=0，
∴ln（1+a）=0，
∴a=0
可以验证当a=0时，函数是一个奇函数．
（2）由已知得：
lnx
f(x)
=
lnx
x
=x2-2ex+m
令f1(x)=
lnx
x
，f2（x）=x2-2ex+m
∴f1′(x)=
1-lnx
x2

当x∈（0，e）时，f1′（x）≥0
∴f1（x）在（0，e）上是一个增函数；
当x∈[e，+∞）时，
f′1（x）在[e，+∞）上为减函数．
当x=e时，f1（x）的最大值是
1
e

而f2（x）=（x-e）2+m-e2
∴当m-e2＞
1
e
，即m＞e2+
1
e
时，方程无解；
当m-e2=
1
e
，即m=e2+
1
e
时，方程有一个根；
当m-e2＜
1
e
时，m＜e2+
1
e
时，方程有两个根．

Answer 2

f(x)=ln（e^x+a）(a为常数，e是自然对数的底数）是实数集R上的奇函数
f(0)=ln（e^0+a）=ln（1+a）=ln1=0
所以a=0

f(x)=lne^x=x
F(x)=lnx-x(x^2-2e^x+m)=-x^3+2xe^x-mx+lnx
F'(x)=-3x^2+2(e^x+xe^x)-m+1/x

Answer 3

f(x)=ln(e^x+a)是实数集R上的奇函数