Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是 正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝C

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是 正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF ，BD⊥CF成立. （1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（ 0º＜O＜90º

）时，如图2，BD＝CF成 立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. （2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如 图3，延长BD交CF于点G. ① 求证：BD⊥CF；

② 当AB＝4，AD＝根号2 时，求线段BG的长.

Answer 1

⑴BD=CF成立。
理由：
∵ΔABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，
∵ADEF是正方形，∴AD=AF，
∠BAC=∠DAF，∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF，
∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF。
⑵①由⑴全等得：∠ABD=∠ACE，
∴∠GBC+∠GCB=∠GBC+∠ACF+∠ACB=(∠ABG+∠GBC)+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BGC=90°，∴BG⊥CF。
②过D作DH⊥AB于H，AH=DH=AD÷√2=1，∴BH=3，∴BD=√(BE&^2+DH^2)=√10，
延长AD交BC于P，则BP=CP，(AD平分∠BAC，AB=AC，等腰三角形三线合一)
由∠BCG=90°知：DP∥CG，
∴BD/DG=BP/CP=1，
∴BG=2BD=2√10。

Answer 2

不好意思，图呢？