Question

正数ab满足a+b+c=1，求证(1-a)(1-b)(1-c)大于等于8ab

Answer 1

(1-a) = b + c >= 2√（bc） (1-b) = a + c >=2√（ac) (1-c) = a + b >= 2√（ab) 三式相乘，得：（1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc

Answer 2

∵a+b+c=1
∴1-a=b+c
同理可知
1-b=a+c
1-c=a+b
a、b、c都是正数
（√a-√b）�0�5≥0
a+b≥2√ab
同理可得
a+c≥2√ac
b+c≥2√bc
(1-a)(1-b)(1-c)
=（b+c）（a+c）（b+c）≥2√bc2√ac2√ab
=8√bcacab
=8abc
∴(1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc