Question

设随机变量X~N(0,1),Y=|x|，求Y的概率密度函数

Answer 1

解题过程如下：

扩展资料

求概率密度的方法：

设随机变量X具有概率密度fX(x)，-∞<x<∞，由设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0（或恒有g'(x)<0），则Y=g(X)是连续型随机变量。其中α=min(g(-∞),g(∞))，β=max(g(-∞),g(∞))，h(y)是g(x)的反函数。

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

概率指事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。

从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。

Answer 2

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y)

当y<0时，FY ( y)=0

当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)= ∫(-y,y)(1/√2π）e^-(x^2/2)dx

∴ Y的概率密度为：
当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = [(-y,y)(1/√2π）e^-(x^2/2)dx]＇=√(2/π)e^-(y^/2)

Answer 3

1)密度函数在区间上积分为1
∫(-1~1)k/(1 x�0�5)dx=(-1~1)karctanx=karctan1-karctan(-1)=kπ/4-(-kπ)/4=kπ/2=1
∴k=2/π
2)E(x)=∫(-1~1)xf(x)dx=∫(-1~1)2x/π(1 x�0�5)dx=∫(-1~1)d(x�0�5 1)/π(x�0�5 1)=(-1~1)ln(x�0�5 1)/π=(ln2-ln2)/π=0
3)E(x�0�5)=∫(-1~1)x�0�5f(x)dx=∫(-1~1)2/π×x�0�5/(1 x�0�5)dx=(2/π)∫(-1~1)[1-1/(x�0�5 1)]dx
=(-1~1)(2/π)(x-arctanx)=(2/π)[(1-arctan1)-(-1-arctan(-1))]=2/π×(2-π/2)=4/π-1