Question

已知数列｛an｝满足：a1=a,an+1=1/2an^2-an+2,其中n∈

已知数列｛an｝满足：a1=a,an+1=1/2an^2-an+2,其中n∈N*.是否存在实数a使得｛an｝为等差数列，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

a(n+1)=1/2an^2-an+2

an=1/2a(n-1)^2-a(n-1)+2
两式相减，得
a(n+1)-an=(an-a(n-1))[1/2(an+a(n-1))-1]
若{an}为等差数列，则a(n+1)-an=an-a(n-1)=d
若d≠0，则1/2(an+a(n-1))-1=1
即an+a(n-1)=4，这与d≠0矛盾
所以d=0即a(n+1)=an
所以an=1/2an^2-an+2
得an=2
所以a=2

Answer 2

数列｛an｝要是等差数列，只需a1=a 是｛an｝的一个不动点。即 后项a(n+1) 与 前项 an相等。
由此得方程 a=(a^2)/2-a+2 解得a=2 即可。