Question

请帮忙看一道初中的数学几何题，求解

前两问我能做出来，第三问求解，最好有过程，或者简单的解释一下

如图，AD是△ABC中线，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点P向两边分别作垂线，垂足为M、N，设AP=x.
（1）、在Rt△ABC中，AB= 10
（2）、当x= 5 时，矩形PMCN周长为14
（3）、是否存在x的值，使得△PAM、△PBN与矩形PMCN的面积同时相等，求x的值

Answer 1

x=5.
你前面第一，第二步已经给你答案了。
（提示：证AM // PN , MP // NB ,角MAP=角NPB △AMP与△PMB的关系 ）

Answer 2

用相似解，简单
将需要的边用x表示出来
自己解

Answer 3

x=20/3
面积=32/3

Answer 4

（3）解法1：设矩形PMCN的长PN=a，宽PM=b
则有AM=8-a BN=6-b
已知 S△PAM+S△PBN+S矩形PMCN=S△ABC=BC×AC÷2=6×8÷2=24
根据题意，假设△PAM、△PBN与矩形PMCN的面积同时相等，
则有 S△PAM=S△PBN=S矩形PMCN=S△ABC×1/3=8

S△PAM=PM×AM÷2=b（8-a）÷2=8
b（8-a）=16
化简得：b=16/（8-a） 设为①式
S△PBN=PN×BN÷2=a（6-b）÷2=8
a（6-b）=16 设为②式
S矩形PMCN=ab=8
b=8/a 设为③式
把③代入①，16/（8-a）=8/a
化简求得 a=8/3
把结果代入③式求得 b=3
把a=8/3 ，b=3代入②式中验证是否成立，来判断是否存在符合题意的a，b的值。
经过验证当a=8/3 ，b=3时，②式不能成立，说明不存在符合题意的a，b值。
∴也就不存在满足△PAM、△PBN与矩形PMCN的面积同时相等的x的值。

解法2， 前半部和解法1相同，后面稍有不同，简单说一下，
过M和N分别作以AP和BP为底边的△PAM和△PBN的高，长度设为m和n
Rt△ABC中，sinA=BC/AB=6/10=3/5
sinB=AC/AB=8/10=4/5
在△PAM中，m/AM=sinA 代入已知条件可得
m=（8-a）×3/5
在△PBN中， n/BN=sinB 代入已知条件可得
n=（6-b）×4/5
已知AP=x 则BP=10-x m=（8-a）×3/5 n=（6-b）×4/5
S△PAM=xm/2 S△PBN=n（10-x）/2 S矩形PMCN=ab
将已知条件代入上面面积公式可得：
（x/2）×（8-a）3/5=8 ①式 （ △ABC面积的1/3等于8）
[（10-x）/2]×（6-b）×4/5=8 ②式
ab=8 ③式 （矩形面积为△ABC的1/3）
化简后
①式可得 a=（24x-80）／3x
②式可得 b=（6x-40）／（x-10）
代入③式ab=8中， 得到：
[（24x-80）／3x]×[（6x-40）／（x-10）] =8
化简该式，得到一个关于x的1元2次方程
3x²－30x＋80＝0
讨论 ∵ ﹙﹣30﹚²－4×3×80＝900－960＝﹣60＜0
∴ 该方程无实数解，x值不存在。
（说明：1元2次方程ax²＋bx＋c＝0求根公式为2a分之负b加减根号b²-4ac，当b²-4ac＜0时，无实数解）

解法2可以直接推出关于x的1元2次方程，运用求根公式计算出x无实数解。
逻辑性比较强，化简过程有点繁琐。
不清楚可以追问，求楼主采纳，谢谢！