Question

已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+c对任意的x∈[-1,1],f(x)≤1恒成立恒成立求出所有满足条件的a，b，c

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Answer 1

解：当x∈[-1,1]时，|f(x)|≤1,故|f(-x)|≤1,从而|4x³+bx|=1/2|f(x)-f(-x)|≤1/2(|f(x)|+|f(-x)|)≤1.设g(x)=4x³+bx,则当x∈[-1,1]时|g(x)|≤1.由|g(1)|≤1得-5≤b≤-3；由|g(1/2)|≤1得-3≤b≤1.故b=-3.
由不等式|f(1)|≤1,|f(-1)≥-1|,可得a+c≤0,a+c≥0,所以a+c=0.
故a+b+c=-3.

Answer 2

f(x)≤1恒成立，可以等价与f(x)，在x∈[-1,1]区间内是增函数，且f(1)≤1；
f‘(x)=12x^2+2ax+b>=0，即b>=a^2/12时，f(x)是增函数，
f(1)=4+a+b+c<=1，即a+b+c<=-3；
所以，使f(x)≤1恒成立恒成立所有满足条件的a，b，c的集合为：
{a、b、c丨a+b+c<=-3，且b>=a^2/12}。

追问

不好意思，我可能是打错了。那个是|f(x)|<=1

追答

f(0)=c——》-1<=c<=1；
f(1)=4+a+b+c——》-1<=4+a+b+c<=1，
f(-1)=-4+a-b+c——》-1<=-4+a-b+c<=1，
——》-5<=b<=-3，-1<=a+c<=1；
——》-2<=a<=2；
f‘(x)=12x^2+2ax+b=0，解得：x1，2=[-a+-v（a^2-12b）]/12，∈[-5/6，5/6]，即函数f(x)在x∈[-1,1]区间内有两个极值点，将x1，2=[-a+-v（a^2-12b）]/12代入，得f‘(x1)和f‘(x2)，令其值∈[-1,1]，解得a，b，c的取值范围再与上述范围相交，即为所求满足条件的a，b，c。