Question

问一道几何变式题

已知,菱形ABCD中,E是直线AC上一点,过E作射线EF交直线CD于F,使∠BEF=∠ABC。
（1）如图1，当F在AC上方时，求证BE=EF.
（2）如图2，当F在AC下方时，（1）中的结论是否成立？给予证明；
（3）如图3，当E在AC延长线上时，（1）中结论是否成立？不必证明。

Answer 1

1）连接DE 。
据已知求得：△BCE≌△DCE,∠CDE=∠CBE.BE=DE.
∵DF//AB,∴∠BCF=∠ABC.求得∠CBE=∠CFE.
∴∠CDE=∠CFE.
∴DE=EF
∴BE=EF
2)连接DE.
同理求得：DE=BE,∠ABE=∠ADE，得：∠CDE=∠CBE.
∵∠ABC+∠BCD=180º,∠ABC=∠BEF.∴∠BEF+∠BCD=180º.
∴∠CBE+∠CFE=180º=∠DFE+∠CFE.∴∠CBE=∠DFE.
∴∠CDE=∠DFE.∴DE=EF
∴BE=EF.
3)成立

Answer 2

（1）看图。先证明两个黄色的小三角形相似，再根据两个红点标记的对顶角是三角形外角的关系，就能证明三角形BEF是等腰三角形。