三阶常系数微分方程的通解怎么求?
常系数线性微分方程:y″′-2y″+y′-2y=0,①
①对应的特征方程为:
λ3-2λ2+λ-2=0,②
将②化简得:
(λ2+1)(λ-2)=0,
求得方程②的特征根分别为:λ1=2,λ2=±i,
于是方程①的基本解组为:e2x,cosx,sinx,
从而方程①的通解为:
y(x)=C1e2x+C2cosx+C3sinx,其中C1,C2,C3为任意常量。
扩展资料:
二阶常系数齐次线性微分方程解法:
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
(1+y)dx-(1-x)dy=0
==>dx-dy+(ydx+xdy)=0
==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0
==>x-y+xy=C (C是常数)
此方程的通解是x-y+xy=C。
参考资料来源:百度百科-通解 (微分方程术语)
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具体求法如下:
设特征方程
① 若实根r1不等于r2
② 若实根r1=r2
③ 若有一对共轭复根a±bi
扩展资料:
一类重特征根对方程解的简便解法:
对于常系数齐次线性微分方程组
当矩阵A的特征根
的重数是
对应的mi个初等因子是
时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如
此时多项式
的次数小于等于
由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在
与
之间找到了一个便于应用的多项式
次数的上界,使计算起来更加方便和有效。
参考资料来源:百度百科 - 特征根法
参考资料来源:百度百科 - 微分方程
①对应的特征方程为:
λ3-2λ2+λ-2=0,②
将②化简得:
(λ2+1)(λ-2)=0,
求得方程②的特征根分别为:λ1=2,λ2=±i,
于是方程①的基本解组为:e2x,cosx,sinx,
从而方程①的通解为:
y(x)=C1e2x+C2cosx+C3sinx,其中C1,C2,C3为任意常量.